[ Piše Petar MLADINIĆ, Zagreb ]  Svako pismo ima samo jednu jedinu adresu za isporuku. (Matematičari kažu: svaki član domene ima pridruženi jedan jedini element iz kodomene.) Dakle, njegov kvart (ljudi koji u kvartu stanuju) kodomena je funkcije.

U torbi nema ni jednog pisma bez adrese, niti pisma s dvije različite adrese.

Naravno da svi ljudi u kvartu ne moraju isti dan dobiti pismo, a neki mogu dobiti više pisama.

Sve su ovo značajke koje matematički pojam funkcije ima u svojoj definiciji i da je taj pojam, na određeni način, „ugrađen” u ljudsko promišljanje i rješavanje realnih/svakodnevnih problema i postupaka.

• U čemu je problem?

Moje iskustvo rada u nastavi upućuje na niz problema u poučavanju i učenju pojma funkcije. Međunarodna PISA i TIMSS ispitivanja također upućuju da učenici s tim pojmom „dobro ne stoje”.

Nažalost, u RH nitko ni sustavno, ni sporadično ne istražuje našu nastavu i njezine rezultate. Prijedlozi koji ugledaju dnevno svjetlo prijedlozi su „od oka”. Tek je nedavno NCVVO objavio pokretanje nacionalnih ispita kojima će dobiti objektivniji uvid u stanje i temeljem tih ispita predložiti promjene.

Sadašnje su promjene kurikuluma promjene „od oka” u svakom smislu: sadržajno i formalno.

Dakle, problem je što nema objektivnijeg uvida u očite probleme, a predlažu se poboljšanja ili promjene kurikuluma.

• HUNI kao početak promjena

U proljeće ove godine napisao sam elaborat Van Hieleove razine matematičkih postignuća učenika u RH (zajedničko akcijsko djelovanje nastavnika i učenika) koji je napisan na temelju sedam svjetskih doktorskih disertacija i 40-ak znanstveno-stručnih članaka. Uputio sam zamolbu MZO-u koji je nakon preporuke AZOO-a dao odobrenje za ulazak u škole.

Branko BOGNAR s Filozofskog fakulteta u Osijeku napisao je o akcijskim istraživanjima nastavnika:

U školi usmjerenoj na promjene učitelji bi trebali preuzeti aktivnu ulogu u procesu istraživanja za razliku od dosadašnje prakse gdje su u najboljem slučaju bili samo korisnici rezultata tuđih istraživanja. S obzirom na taj zahtjev, akcijska istraživanja u mnogočemu odgovaraju potrebama učitelja. Kroz proces akcijskih istraživanja učitelji mogu rješavati uočene probleme i unapređivati praksu u skladu s autonomno postavljenim ciljevima. U središtu akcijskih istraživanja nalazi se akcija, a prikupljeni podaci služe kao povratna informacija na temelju koje je moguće prilagođavati i mijenjati planirane aktivnosti. Time cijeli proces istraživanja postaje fleksibilan i kreativan odgovor na potrebe sudionika istraživanja. Unatoč tome što akcijska istraživanja podrazumijevaju intrinzičnu motivaciju onih koji ih ostvaruju, važno je da u školama postoji poticajno ozračje za ostvarivanje te vrlo zahtjevne profesionalne uloge…

Tradicionalni pristupi stručnom usavršavanju polaze od pretpostavke da je za ostvarivanje promjena dovoljno informirati praktičare o novim mogućnostima koje su vrlo često osmišljene i ispitane izvan njihova profesionalnog konteksta. Za razliku od toga akcijska istraživanja podrazumijevaju aktivnu ulogu praktičara u svim etapama ostvarivanja promjena polazeći od sljedećih pretpostavki:

1. Odgoj je kompleksna djelatnost za koju je vrlo rijetko moguće unaprijed predvidjeti i propisati odgovarajuća rješenja.

2. Za ostvarivanje suštinskih promjena presudno je povoljno društveno ozračje i potpora praktičarima – agentima promjena.

3. Učenje se ostvaruje putem djelovanje i (samo)kritičke rasprave praktičara u okviru zajednica prakse ili zajednica učenja o rezultatima vlastitog djelovanja.

4. Za evaluaciju i prezentaciju vlastitog djelovanja odgovorni su prije svega praktičari.

U akcijskim istraživanjima učitelji problematiziraju uvjete svoga odgojnog djelovanja nastojeći osmisliti, primijeniti i istražiti prikladna rješenja koja su u velikoj mjeri rezultat njihove inovativnosti. Upravo takva, stvaralačka rješenja učitelja, predstavljaju vrlo često najprimjerenije odgovore za probleme s kojima se učitelji u praksi suočavaju.

Ovaj je projekt usmjeren na nastavničko utvrđivanje i povećanje razina postignuća učenika u temeljnom matematičkom pojmu – u pojmu funkcije i konkretnih funkcija koje se poučavaju u školskoj matematici (linearne, kvadratne, eksponencijalne, logaritamske i trigonometrijske).

Te su funkcije i temelj uporabe matematike u prirodoslovlju (fizici, biologiji i kemiji). Pojam funkcije usko je povezan s računalnom znanošću, računalnim razmišljanjem i programiranjem i kao takav vrlo je važan segment informatike.

U svjetskoj znanosti prevladale su Bloomova taksonomija i Van Hieleova teorija (uz Freudenthalova promišljanja koja su izvor RME-a – Realistic Mathematics Education).

RME koristi pravi problem i kontekstualnu situaciju kao početnu točku učenja. Fenomeni u kojima se matematički pojmovi pojavljuju u stvarnosti trebaju biti izvor koncepcije.

Istraživanja Van Hieleovih razina mnogo bolje daju uvid u matematička postignuća učenika od Bloomove taksonomije (koja je danas u nastavi u RH).

Ovim projektom želimo akcijskim istraživanjem nastavnika saznati/uočiti/naslutiti Van Hieleove razine učeničkih postignuća i usporediti ih s teoretskim modelom. Naslućujemo da će naši učenici dostizati jednu razinu, a preskakati neku drugu i da će u tom smislu trebati intervenirati u poučavanje i učenje.

Od objavljivanja, ova je teorija znanstveno potvrđena raznim metodama i danas više nema sumnji u njezinu valjanost. Svatko od učenika (i ne samo učenika!) na određenoj je Van Hieleovoj razini mišljenja, a učenici iste dobi često su na različitim razinama. Pritom je većina učenika nižih razreda osnovne škole na prvoj razini, a rijetko koji učenik osmog razreda na razini višoj od druge. Pravilno prepoznavanje o kojim se razinama radi i usklađivanje poučavanja s tim razinama pridonijet će kvaliteti nastave i učeničkom uspjehu u svladavanju koncepata.

Istraživanja koja su provedena u svijetu upućuju na to da učenici u prva tri razreda gimnazije mogu dostići najviše 3. Van Hieleovu razinu. Tek u četvrtom razredu gimnazije mogu dostići 4. Van Hieleovu razinu. Najviša Van Hielova 5. razina „rezervirana” je za studente.

Ovim akcijskim istraživanjem, uz aktivno sudjelovanje i nastavnika i učenika, želimo utvrditi može li se predstavljanjem i rješavanjem zadataka koji su strukturirani prema Van Hielovim razinama povećati postotak učenika koji dostižu 3. i 4. razinu.

Ovim akcijskim istraživanjem načinit ćemo mali, početni korak nastavničkih promišljanja nastave i činjenica vidljivih na dijagramu.

Za provođenje ovog projekta (kao i u drugim predmetima) utemeljili smo udrugu Hrvatska udruga nastavnika istraživača (HUNI) (http://www.huni.hr s e-adresom huni.cro@gmail.com) i pokrenuli smo crowdfonding kampanju (http://croenergy.eu/projekt/cudesni-svijet-matke) za prikupljanje sredstava za realizaciju istraživanja.

• Zadatke/testove rješavat će se u sljedećim školama:

gimnazije: I. osječka, XV. i XII. zagrebačka, III. splitska, zadarska F. Petrića, riječka A. Mohorovičića, pulska, vukovarska i metkovićka te Tehnička škola Vinkovci

osnovne škole: osječka F. K. Frankopan, zagrebačka M. Gubec, splitska Skalice, zadarska S. Budinića i pulska Vidikovac.

Anonimno će se testirati u osnovnim školama po jedan 8. razred, a u gimnazijama po jedan 1., 2., 3. i 4. razred.

Škole i nastavnici koji se još žele uključiti u istraživanje mogu se prijaviti na adresu HUNI-ja.

Za aktivne sudionike istraživanja organizirat će se 25. i 26. travnja 2019. godine znanstveno-stručni skup i radionice na Sveučilištu u Zadru na kojima će biti prihvaćeni testovi za pojedini razred. Sudjelovati na skupu mogu i svi ostali hrvatski nastavnici zainteresirani za ovo istraživanje.

U kreiranje testova (s nastavnicima) i u analizu rezultata uključeni su kao kritički prijatelji naši sveučilišni nastavnici iz Zagreba, Splita, Zadra i Pule i svjetski stručnjaci Michael de Villiers i Hannah Barnes.

Test bi se proveo u svibnju 2019. godine. Sukladno rezultatima istraživanja test bi se doradio i sljedeće školske godine proveo u istim školama, ali s drugim učenicima.

Sukladno rezultatima rješavanja zadataka i iskustvu nastavnika u ovom akcijskom istraživanju „standardizirali” bi se zadatci (tj. primjeri zadataka) sukladno Van Hieleovim razinama i dobi učenika. Na ovaj bi se način moglo upozoriti na transparentno ujednačavanje znanja učenika u RH i povezanost dostignute razine sa znanjem iz matematike.

Nakon akcijskog istraživanja zadatci, postignute razine i iskustva uobličit će se u Priručnik za nastavnike, učenike i roditelje i na taj način povećati ujednačavanje znanja i ishoda samih učenika. Priručnik bi drugim zainteresiranim učiteljima/nastavnicima omogućio da se i sami okušaju u promišljanju rješavanja problema u svojoj nastavi (poučavanju i učenju).

Napisani bi se priručnik o razinama naše djece sa zadatcima za pojedinu funkciju za nastavnike, roditelje i ostalu javnost stavio na uporabu na mrežnoj stranici HUNI-ja. Napisalo bi se i stručno izvješće za MZO i AZOO.

■  ETIČNOST PROVEDBE ISTRAŽIVANJA

Uz suglasnost ministarstva o realizaciji u projektu će se poštivati sve etičke uzance istraživanja: dragovoljnost sudjelovanja, pristanak roditelja (pisani), učenika, nastavnika i škole, anonimnost rješavanja zadataka, objava izvješća u stručnoj periodici, slanje integralnog izvješća svim sudionicima (školama, AZOO-u, NCVVO-u, ministarstvu i kritičkim prijateljima) te drugi zahtjevi.

■  UPITNIK

Vrlo je važan dio ovog istraživanja i upitnik koji će učenici, ali i njihovi nastavnici, popuniti nakon rješavanja zadataka.

Cilj je upitnika:

  1.) prosudba zadataka

  2.) prosudba raspoloživog vremena za rješavanje

  3.) mišljenje o samom projektu

  4.) mišljenje o ostalim činjenicama i prijedlozi sudionika.

Posvetit će se posebna pozornost ovome cilju kao i uvažavanju rezultata u rješavanju zadataka.

Sadržaj upitnika, tj. pitanja u upitniku ovise o dobi učenika i sadržaju/zadatcima koji će se odabrati za rješavanje. Pitanja će biti usklađena sa sadržajem zadataka i pojedinom dobnom skupinom.

■  NEKOLIKO PRIMJERA

Kao ilustraciju drukčijeg pristupa zadatcima navedimo nekoliko primjera.

• PRIMJER 1. Ako je u tablici y proporcionalan s x, koliki su onda P i Q?
• PRIMJER 2. Dane su stube koje se grade pomoću kvadrata sa stranicom 1 cm (v. sl.).

Q1. Kako se mijenja opseg promjenom uzlaznog broja koraka? Zašto mislite da je to tako?

Q2. Kako se mogu povezati broj koraka i opseg?

Q3. Koliki je opseg ako imamo 10 koraka?

• PRIMJER 3. Napišite što možete uočiti u sljedećim tablicama.
• PRIMJER 4.

A) Pod pretpostavkom da se logaritmi na slici ponašaju kao i uobičajeni, možete li odrediti logaritme koji nedostaju na slici?

B) Naš brojni sustav temelji se na broju deset. Na kojem se broju temelji logaritamska funkcija na slici dolje?

C) Koji broj u tom sustavu ima logaritam jednak 2?

• PRIMJER 5. Ovo je primjer iz zagrebačke svakodnevice. Treba ga se rješavati uporabom koordinatnog sustava i grafičkih prikaza gibanja tramvaja. Rješenje zadatka očita se na grafu.
• PRIMJER 6. U slučaju kvadratne funkcije možemo uočiti sljedeće razine.

1. razina: Učenici ne mogu jednostavno usporediti situacije. Ne mogu na odgovarajući način razlikovati kvadratnu od ostalih situacija ako koristimo samo svakodnevni jezik.

2. razina: Kvadratne funkcije i kontekstualne situacije mogu se opisati u tablici gdje su druge razlike (razlike razlika) konstantne.

3. razina: Kvadratne funkcije opisane su algebarski s y=ax^2+bx+c i geometrijski pomoću parabola. Tangenta se razmatra pomoću b^2- 4ac.

4. razina: Kvadratna funkcija opisana je derivacijom kubne funkcije i primitivnom funkcijom linearne funkcije. Tangenta se razmatra pomoću derivacije. [ IZ DRUGIH MEDIJA | Školske novine | Piše , Zagreb ]