Pokazuje li ogledni ispit iz Matematike kao uvod i pripremni uzorak za ovogodišnju državnu maturu veću zastupljenost zadataka koncipiranih na kritičkome mišljenju i rješavanju problema, a kako su najavljivali i još uvijek najavljuju predvodnici i glavni kreatori obrazovne reforme Škole za život? Očekuje li ovogodišnje maturante, prema onom što je već sada dostupno u Oglednome ispitu, kvalitetnije smišljeni i postavljeni zadatci te, ukupno gledajući, pravedniji ispit državne mature iz Matematike, s obzirom na to da je riječ o jednom od ključnih ispita za upis u tražene i zahtjevne fakultetske programe; te je li se pritom dogodila i tâ svestrano najavljivana usklađenost s proklamiranom tendencijom rasta kritičkoga mišljenja i razumijevanja i rješavanja problema?

Na takva i srodna pitanja u svojem jednostavnom, zornom, ali i stručno utemeljenome kritičkome osvrtu na ogledni uzorak ispita iz Matematike bitne i obrazložene odgovore daje profesor savjetnik Šime Šuljić.

Članak Kritički pogled na ogledni ispit državne mature objavljen je u prosincu 2021. u stručnom časopisu Matematika i škola.

Otkako je 2010. godine uvedena Državna matura, što se ispita iz Matematike tiče, ona nije znatnije mijenjana sve do ove, koja će uslijediti 2022. godine. Državna matura je gotovo jedina stvarna promjena koja se dogodila u našim srednjim školama u posljednjih trideset godina, do aktualne kurikularne reforme. Bio sam i ostao zagovornik mature kao vanjskoga vrednovanja znanja. Matura je donijela više pozitivnih pomaka u sustavu:

■ ujednačenost i pravednost ocjenjivanja učenika, dobru distribuciju bodova na velikom broju učenika

■  transformaciju odnosa učenika i nastavnika u partnerski odnos sa zajedničkim ciljem stvaranja veće odgovornosti za uspjeh kod učenika i nastavnika, ali i razgraničenje tih odgovornosti

■ strogu proceduru provođenja testa koja se donekle odrazila i na provođenje školskih ispita

■  makar mnogi prigovaraju da je glavna uloga mature postala prijamni ispit za fakultete, i tu je matura napravila veliki boljitak; primjerice, čak iz matematike bilo je svakakvih prijamnih ispita na raznim fakultetima, od izvrsnih FER-ovih do jako loših na nekim fakultetima.

Naravno, ima i negativnih posljedica.

Učenje za ispit s popratnim obrtima za poduku umjesto učenja predmeta kao takvog, gotovo je nemoguće izbjeći. Nastavnici matematike najčešće se žale na „sramotno” nizak prag prolaznosti, koji se određuje nakon dobivenih rezultata. Obično odgovaram protupitanjem: Kako to da netko tko je četiri razreda srednje škole svladao po kriteriju 50 % za dovoljan, sada ne može preskočiti prepreku od 25 %?

A takvih nije malo! Nisu oni ni školske testove, koji obuhvaćaju tek jedno poglavlje udžbenika, svladavali s traženim postotkom. Tu se u principu uvijek radilo o famoznom „ispravljanju”. Fenomenu koji bi trebalo što prije ukinuti da bi nastava matematike ozdravila. Mislim da je takvo određivanje praga prolaznosti pravedno, ali prije svega realno i jedino moguće.

Matematika je zahtjevna disciplina. Može nas tištiti što je najniži prag prolaznosti iz Matematike, ali isto tako na testu iz Matematike učenici postižu veću stopostotnu riješenost nego na svim ostalim testovima zajedno! Tî učenici koji postižu visoke rezultate na testu iz Matematike u principu ne idu na posebne pripreme za maturu ili na instrukcije. Znanje nose iz učionice, bolje rečeno – iz učionicâ tijekom dvanaest godina školovanja.

Novi ispitni katalog

O ispitnom katalogu pisano je u prethodnom broju MiŠ-a, a objavljen je i ogledni ispit za maturu 2022. (https://www.ncvvo.hr/ispitni-katalozi-za-drzavnu-maturu-2021-2022) te mi čini se prikladnom prigodom da se iskaže kritičko mišljenje o ispitu iz Matematike, kada se taj pojam već toliko provlači u svim raspravama i dokumentima o obrazovanju. Svjestan sam toga da se pod jedinstvenim pojmom kriju različita značenja pa bi ovaj članak trebalo više promatrati kao običan kritički osvrt. I to ne sa sustavne teorijske podloge, već kao upućivanje na ono što bode oči.

Da se malo pozabavim Ispitnim katalogom i Oglednim ispitom iz Matematike na razini A, ponukala me je objava bivše ministrice Blaženke Divjak na Facebooku u kojoj kaže: „Novi kurikulumi su sklopu [sic!] kurikularne reforme Škola za život doneseni početkom 2019. i od jeseni te godine sukcesivno su se uvodili u osnovne i srednje škole. Iduće godine će na državnu maturu po prvi puta maturanti koji su u srednjoj školi tri godine radili po novim kurikulumima u kojima je veći naglasak na rješavanje problema i kritičko razmišljanje [sic!].” (9. srpnja 2021.) – (poveznica na objavu je ovdje)

Naravno, tu se ne misli samo na matematiku, ali baš me je zanimalo ima li novopredloženi test više zadataka koji idu u kategoriju rješavanje problema. Sudeći prema dojmu – rekao bih da nema, odnosno – ako i ima – oni u biti pripadaju jednostavnim problemima koje može riješiti i osnovnoškolac.

Uočljiv je:

1.] Izostanak dijela nastavnih sadržaja zbog čega je i knjižica formula reducirana. Vjerojatno je razlog taj što je većina ovogodišnjih maturanata ušla u kurikularnu reformu s trećim razredom „izgubivši” dio nastavnih sadržaja („gradiva”) koji je iz trećega razreda premješten u drugi razred. Na stanovit način sada se priznaje da je to bila ishitrena i nedovoljno promišljena odluka. Valja napomenuti da se i ranije u varijanti A pojedine cjeline nisu nikad pojavljivale.

2.] Bitno povećan broj zadataka višestrukoga izbora, s dosadašnjih 15 na 24 (za 60 %).

3.] Po mom subjektivnom dojmu, povećan je broj trivijalnih zadataka. Ako objektivno i nije, zadatci višestrukoga izbora lako mogu postati trivijalni uz mogućnost uvrštavanja ponuđenih odgovora.

Zadatci višestrukoga izbora ili zadatci slobodnoga pogađanja?

U vezi s izostankom nastavnih sadržaja, nema se što reći, učenici ne bi trebali biti zakinuti zbog možebitne ishitrene odluke da se reforma uvodi na preskok, ali sasvim su druga priča zadatci višestrukoga izbora bez negativnih bodova za pogrešan odgovor.

Drugim riječima, radi se o zadatcima s mogućnošću pogađanja točnoga odgovora. Teoretski, uz četiri ponuđena odgovora vjerojatnost pogotka je 0.25 u jednome zadatku. Očekivan broj točnih odgovora, a da se nijedan zadatak od njih 24 uopće ne pročita, već se samo zaokruži po jedan odgovor, iznosi 6 zadataka! Ali u nekom konkretnom slučaju vjerojatnost pogotka može biti i 50 % jer se katkad i iz aviona vidi da dva odgovora nikako ne mogu biti rješenje zadatka!

Pitamo li se pak kolika je vjerojatnost da će od dvaju zadataka učenik pogoditi barem jedan, tada to nije teško otkriti. Vjerojatnost pogreške u jednom zadatku je ¾, vjerojatnost pogreške u drugom isto ¾, pa je vjerojatnost dvostruke pogreške 9/16. Komplement toga je barem jedan točan odgovor, vjerojatnost da će od dvaju zadataka pogoditi barem jedan iznosi 7/16. Mogli bismo tako nastaviti dalje, a to nas dovodi do vjerojatnosti pojavljivanja događaja kod ponavljajućih pokusa, odnosno do Bernoullijeve sheme. Da ćete od 24 zadatka pogoditi barem četiri, vjerojatnost iznosi vrlo visokih 0.88. Možete se „poigrati” apletom koji sam već ranije izradio baš zbog zadataka „na pogađanje”, a nalazi se OVDJE.

Teorijska vjerojatnost na velikome bi uzorku bila i potvrđena, a broj kandidata na maturi upravoje tako velik uzorak.

Međutim, od još je većega značenja što se događa na razini pojedinca. Netko će možda pogoditi samo jedan od 24 odgovora iako je vjerojatnost 0.88 da će pogoditi najmanje četiri. Drugi će pogoditi i više od deset zadataka jer je srećković. Hoće li maturant „upasti” na odabrani studij, često ovisi i o samo jednom bodu na ispitu iz matematike. Strogo provedena matura, kako se zadnjih godina provodi, ima antikoruptivan karakter i osigurava pravedan upis na fakultete. Je li nam kao društvu bitno da odgovorne i složenije pozicije zauzimaju nesposobniji i manje marljivi? Vrijeme je da se pogađanje na maturi svede na najmanju moguću mjeru umjesto da se srećkovićima daje vjetra u leđa.
Razmišljajući tako, u Oglednom ispitu s nevjericom otkrivam zadatak višestrukoga izbora koji svojim sadržajem govori upravo o tome problemu:

Ponuđeni odgovori su redom 2, 3, 4 i 5 negativnih bodova. Izgleda da je ispitno povjerenstvo svjesno problema, ali staviti taj zadatak kao zadatak na maturi na kojoj nema negativnih bodova za pogrešan odgovor, djeluje mi kao kakav cinizam. Pristupnici mogu sa smiješkom reći: Koji smo mi srećkovići, možemo pogađati do mile volje sve što ne znamo. Ili će pak koga od nekoliko desetaka tisuća pristupnika uloviti panika pa na samom testu ne će zaokružiti odgovore koje znaju jer nisu potpuno sigurni? – Stresna je to situacija za takve igrarije.

Zadatak jest svojevrsno rješavanje problema svođenjem na sustav linearnih jednadžbi. Kao takav pripada prvom razredu srednje škole, ali sa sustavom jednadžbi ovogodišnji maturanti sreli su se još u sedmom razredu osnovne škole i mnogi će od njih izravno postaviti sustav jednadžbi i zapisati ga u kalkulator ovako:

Napomena: Namjerno sam posegnuo za upravo tim modelom kalkulatora koji je na maturi dopušten, a vjerojatno ga ima velika većina pristupnika mature. Pritiskom gumba „=” kalkulator daje x = 5 i y = 3. Znači, pet bodova za točno rješenje i tri negativna boda za svaki pogrešno zaokružen odgovor, ispravan je odgovor. Usput, previše su ta tri negativna boda! Sastavljači se igraju strogoće, po svemu sudeći, iako ne znamo koliko je u zamišljenu primjeru ponuđeno točnih odgovora. U slučaju kada se zadatak boduje s 5 bodova za točan odgovor, a ponuđena su četiri odgovora, pravedno bi bilo oduzeti 1/3 od 5, što iznosi približno 1.67 bodova za pogrešan odgovor.

Osim pravednosti pri vanjskom vrednovanju, bitan je ukupan rezultat populacije, odnosno koliki postotak učenika na nacionalnoj razini ili na razini škole zna riješiti pojedini zadatak. Recimo da nam je poznato da je u tome konkretnom zadatku točan odgovor zaokružilo 65 % pristupnika. Mi ne možemo kazati da ih isto toliko zna riješiti jer ih je 15 % možda pogodilo pa proizlazi da tek svaki drugi učenik to zna postaviti i riješiti.

Dvadeset i četiri zadatka višestrukoga izbora čine gotovo polovicu ispita i mi za toliki dio ispita nemamo vjerodostojnu povratnu informaciju. Istina, postoji matematički model kojim se može s velikom točnošću na razini cjelokupne populacije odrediti koliki postotak učenika je stvarno znao, a koliki pogodio. Na razini škole to nije moguće, a pogotovo ne na razini pojedinca.

Podsjećam, taj je test propusnica na fakultet. Je li pravedna?

Kalkulatori s prirodnim zapisom i velikom snagom

U ispitu moraju postojati vrlo jednostavni zadatci za koje očekujemo da će ih riješiti svi ili gotovo svi učenici. No, trebaju li nam baš ovakvi – poput prvoga zadatka u kojem se traži samo

čitanje aritmetičkih operacija i njihovo „prepisivanje” pomoću tipaka kalkulatora na zaslon kalkulatora? Iako se u zadatku govori o zaokruživanju broja, iz ponuđenih odgovora jasno je da se zaokruživanje u biti ne traži. Ovdje se isključivo traži umijeće tipkanja danog izraza u kalkulator, a dobro znamo da to nisu više kalkulatori od prije nekoliko desetljeća s obrnutom notacijom i s mogućnošću izračunavanja jedne po jedne operacije, što je tražilo dobro promišljanje redoslijeda i svojstava računskih operacija. Može li itko na tome zadatku pogriješiti ako ga krene izračunavati kalkulatorom? Može nešto pogrešno otipkati, ali gotovo je nemoguće

dobiti jedan od tri netočna ponuđena odgovora.

Ali nije to jedini zadatak rješiv kalkulatorom, kako izgleda na prvi pogled. Moćne su to „zvijeri”, gotovo na razini PhotoMatha, samo bez očitavanja zadatka kamerom!Ima još zadataka koje može riješiti učenik i bez odgovarajućih matematičkih kompetencija koje se maturom utvrđuju. Izdvojit ću neke od njih.

Zadatak 26.

Odgovor daje kalkulator, a učenik ga prepisuje na crtu za odgovor.

Zadatak 30.1. Nacrtajte graf funkcije f(x) = log₂(x + 1).  

Odgovor u dvije sličice, zapis funkcije i tablica vrijednosti:

Neki modeli kalkulatora mogu i nacrtati graf, ali takvi kalkulatori nisu na maturi dopušteni. Mogućnost upisa funkcije i dobivanja tablice vrijednosti, s proizvoljnim vrijednostima, sasvim je dovoljna. Pritom učenik ne mora mariti ni za prirodno područje definicije kao kod logaritamske funkcije, a niti za osobite točke kod recimo kvadratne funkcije. Kalkulator će izbaciti, u slučaju nedefiniranosti funkcije, ERROR, a s druge strane – dobivene točke izvan danog koordinatnog sustava učenik ne će crtati.

Zadatak 31.2.

Čak i takve trigonometrijske jednadžbe kalkulator uspješno rješava. Evo snimke zaslona s upisanom jednadžbom i rješenjem u decimalnoj aproksimaciji broja π/2. Istina, ostaje pitanje drugog rješenja te jednadžbe.

Napomena: Ključ toga zapisa i rješenja jest alternativni zapis znaka ‘=’ i ‘SOLVE’.

Zadatak 36.1. Riješite nejednadžbu x² – 7x > 0 i rješenje zapišite uz pomoć intervala.

Zgodan srednjoškolski zadačić koji se može riješiti na nekoliko načina. Recimo grafički ili rastaviti na faktore pa logički. Ali može i tipkanjem sljedećega niza:

To izgleda kao besmislen algoritam tipki, ali riječ je o interakciji sa zaslonom koju vrlo brzo usvoji onaj tko ima jasan cilj, riješiti nejednadžbu. I doista, kalkulator daje rješenje: x<0, 7<x.
Naravno, ne zalažem se za takav način rješavanja, ali mi izgleda nismo svjesni nastalih okolnosti.

Šablonizirani zadatci

Nije mi namjera kritizirati zadatke radi kritike, sve redom. U prva 24 zadatka, ali i u ostatku testa, ima dobrih, zgodno postavljenih pa i lijepih zadataka. Što je osobito bitno, zadataka koji na kraju dvanaestogodišnjega školovanja provjeravaju ono što na maturi treba provjeravati. Dotaknuo bih se samo nekih zadataka koji su kao neka trenutna moda, a koji možda nemaju osobit smisao za sâm nastavni predmet. Ma koliko smatrali matematiku okoštalim predmetom, nije bilo desetljeća da ju ne zahvati neka pomodnost.

Otkako su počeli nacionalni ispiti i Državna matura, vjerojatno nije bilo testa iz Matematike koji ne uključuje formulu koja simulira kakvu prirodnu ili društvenu pojavu pri čemu je trebalo odrediti vrijednost funkcije za zadani argument ili argument iz dane vrijednosti funkcije.  Kurikularna reforma primjeni matematike u životu i drugim disciplinama daje ključno mjesto pa u tom smislu izdvajam 15. zadatak.

Zadatak izgleda složen i traži podosta vremena da se u tekstu punom stručnih pojmova, simbola, mjernih jedinica i formule polovi konce. Na kraju je tu i napomena konfuzno napisana kao da je riječ o definiciji Becquerela, koji se – ako je riječ o mjernoj jedinici – piše zapravo bekerel. Eto, može biti sklizak izlazak na teren drugih nastavnih disciplina, ali matematika po svojoj naravi razgrće šumu svih podataka, činjenica i tvrdnja te pronalazi obrazac ili model kojim rješava problem. 

Apstrahiranje je bit matematike, međutim, učenik sklon apstrahiranju, koji prepoznaje tip zadatka, može reći: Aha, formula je tu, pa da vidimo koja se veličina traži bez velikog zamaranja. Četiri su veličine: A, A₀, t i T. Traži se t i ta je nepoznanica u eksponentu, znači riječ je o eksponencijalnoj jednadžbi koja se može riješiti uz pomoć logaritmiranja. Ali čemu se mučiti logaritmiranjem uz ponuđene odgovore i bilo kakav kalkulator? Krenimo s prvim odgovorom:

Taj rezultat ne daje zadani A = 140. Uvrstimo drugi ponuđeni odgovor:

Znači, odgovor B je točan! Dakle – bez logaritama, bez nekog velikog razumijevanja samog problema i njegova značenja. Štoviše, moglo je i bez kalkulatora, napamet. Množenjem broja 250 potencijom broja dva potrebno je dobiti umnožak 140, ugrubo polovinu od 250, a to samo može ako je eksponent nad bazom 2 otprilike -1. Jedino se odgovor B uklapa.
Ima li učenik moderan kalkulator i ponešto umijeća rukovanja njime, može i ovako:

Shvaćam da cilj matematike može biti „razgrnuti” sve što se u nekom problemu javlja i otkriti matematički model. Međutim, jezik i stil kojim je taj zadatak napisan vrlo je nezgrapan, pa i zamoran, kao da namjerno postavlja izvanmatematičke prepreke na učenikov put cilja. Za usporedbu navodim izvornik baš tog, istog (!) zadatka iz popularne Plave zbirke iz Fizike Nade Brković.

Obrazovni ishodi i pridruženi im zadatci

Kada smo već kod matematičkoga pojma funkcije, ona se može primijeniti ne samo kao pridruživanje realnih brojeva realnim brojevima. Možemo promatrati pridruživanje ispitnih zadataka Oglednoga ispita obrazovnim ishodima Ispitnog kataloga. Odmah imamo onu težu varijantu problema, znamo zadatak, odnosno vrijednost funkcije, a nije nam poznat ishod kojemu je pridružen. Moglo bi biti da se tim zadatkom željelo provjeriti usvojenost jednoga od ova tri ishoda:

1.] Modelira eksponencijalnom i logaritamskom jednadžbom. (MAT SŠ B.3.4.)
Ne, učenik tu ništa ne „modelira”, sve mu je servirano, izmodelirano. Samo uvrštava, ne stvara sâm model.

2.] Primjenjuje eksponencijalnu i logaritamsku funkciju. (MAT SŠ B.3.3., MAT SŠ C.3.2.)
Da nisu ponuđeni odgovori, bilo bi nužno primijeniti logaritamsku funkciju za izračunavanje vremena; a nije riječ ni o učenikovoj primjeni eksponencijalne funkcije.

3.] Primjenjuje pravila za računanje s potencijama racionalnoga eksponenta. (MAT SŠ A.3.1., MAT SŠ B.3.1.)
Javlja se racionalni eksponent, ali za dolazak do rješenja ne treba znati pravila za računanje s potencijama.

Zadatak 38.2. donekle se razlikuje od prijašnjih zadataka iz domene Podatci. On bi mogao biti odraz novog matematičkog kurikula koji cilja na ishod Barata podatcima prikazanima na različite načine. (MAT SŠ E.1.1.) Ne znam koliko je ovdje uopće bio potreban kružni dijagram umjesto iskaza tekstom da je dovoljnih 11 %, dobrih 24 %, vrlo dobrih i odličnih zajedno 60 %, a samo odličnih 26 %, dok ostatak pripada ocjeni nedovoljan.

Vjerujem da bi znatan broj učenika osnovne škole po starom programu lako očitao taj dijagram i zaključio da se broj učenika s vrlo dobrim ocjenama dobije tako da se od 60 % oduzme 26 % i dobije 34 % te da je učenika s nedovoljnim ocjenama 5 %, da bi ukupno bilo 100 %. Izračunavanje prosječne ocjene načelno bi radi preciznosti trebalo izračunavati na temelju broja učenika, ali ovdje se jednak rezultat dobije i ako to ne činimo (vidi sljedeće dvije sličice zaslona kalkulatora). Predviđena dva boda morat će se dati i onome tko nije gubio vrijeme na precizan postupak.

Učenik koji razumije pojam postotka i zna ih izračunavati, koji razumije aritmetičku sredinu i dovoljno je uporan, riješit će taj zadatak. I to čak učenik prvoga razreda srednje škole po starom programu. Dio učenika zasigurno ne će. Koliki će to postotak biti u odnosu na „staru školu”, svakako bi bio zanimljiv podatak. Osobno se bojim da takozvana usmjerenost na učenika i njegove kompetencije, odnosno u tom slučaju nemušto skovan ishod „barata podatcima prikazanima na različite načine”, ne će mnogo pomoći.

Zadatak 40. Povezuje derivaciju funkcije i crtanje grafa funkcije (MAT SŠ B.4.7.) ili možda Primjenjuje derivaciju funkcije u problemskim situacijama – pitanje je sad! Vjerojatno to prvo, ali način na koji je zadatak postavljen, u neku ruku obrnuto s danim grafom i jednim ekstremom, bit će mnogima čista problemska situacija zbog čega bi vjerojatno vrlo malen broj učenika to riješio. I to je u redu, takvih zadataka mora biti u dobrom testu. Samo to onda ne može i ne mora značiti da onaj koji nije riješio taj zadatak ne povezuje derivaciju funkcije i crtanje grafa. Dapače, može to jako dobro znati, ali mu se u tako postavljenu zadatku ne će dogoditi onaj spasonosni aha-efekt.

Taj jako zgodan i intrigantan zadatak pokazuje kako se umijeće postavljanja matematičkih zadataka razvijano tijekom stoljeća duboko ukorijenilo u školsku matematiku. Takva maštovita, dovitljiva, zagonetna i kreativna strana matematike ne bi trebala ustuknuti pred nezgrapnim i redukcionistički pisanim obrazovnim ishodima. Štoviše, možda bi trebalo preispitati svrhu i smisao obrazovnih ishoda u tako specifičnom predmetu kakav je matematika. Ili pomoći nastavnicima da uvide svrhu i smisao.

Koordinatne osi bez brojeva

Na slikama koordinatnog sustava kakav se javlja na ispitima državne mature nema brojeva na koordinatnim osima, osim nule u ishodištu i jedinica na osima. Istina, sasvim dovoljno, time je mjera definirana. Ali ako smo toliko toga učenicima servirali, pojednostavnili, omogućili da mnoge zadatke lako riješe kalkulatorom, ne vidim razloga da se i tu ne nađe koja brojka više kako ne bi došlo do gubitka boda zbog prebrojavanja kvadratića koordinatne mreže.

Analiza rezultata i kritičko mišljenje

Želim vjerovati da se rezultati sljedećeg maturskoga ispita ne će koristiti u svrhu dokazivanja da je reforma polučila bolji rezultat i višu prolaznost jer s tako strukturiranim zadatcima, izostavljanjem dijela nastavnih sadržaja, trivijalizacijom pojedinih zadataka i bez povećanja „problemskih” zadataka, rezultat na višoj razini Matematike ne može biti lošiji od prethodnih godina.

Što je, tu je. Očekujem barem dubinsku analizu rezultata i pokretanje kritičkoga razmišljanja u matematičkoj zajednici.

■ NAPOMENA ■ piše: Šime Šuljić, profesor savjetnik ■ tekst je djelomice uređen s obzirom na prvu objavu te autoriziran ■ Hrvatska: Matematika i škola (MIŠ) – časopis ponajprije usmjeren na nastavu matematike te srodne teme ■