„Matematika izvan učionice zabavna je, korisna i uči se s radošću.“ 

Peter GRAY, istraživač i sveučilišni profesor, osobito je usmjeren na rani razvoj i učenje. Proučava kako se u izazovnim vremenima suvremena svijeta narušava, pa i nestaje, okoliš i uvjeti koji su u prošlim vremenima djeci omogućivali bogat rani razvoj i učenje te ih na inkluzivne, ne osobito nadzirane načine i pospješivali.

Na Školskome portalu do sada smo objavili nekoliko tekstova toga uglednoga autora, a pred vama je prvi dio članka o djelotvornom i radosnom učenju matematike kao i o tome u kojim se uvjetima/okolnostima ono može ostvariti.

Zbog duljine, članak donosimo u nekoliko dijelova. Slijedi prvi dio. Članak je objavljen prije zamalo 15 godina u časopisu Psychology Today.

Članak Kids Learn Math Easily When They Controll Their Own Learning objavljen je na na mrežnim stranicama Psychology Today 10. travnja 2010.

Strahujemo od nje i osjećamo odbojnost; divimo joj se, ali istodobno smo i sumnjičavi prema onima koji su u njoj uspješni; toliko ju cijenimo da tjeramo djecu da ju uče (ili da se pretvaraju kako ju uče) gotovo svakoga dana svake godine njihova školovanja; i služimo se njome kao glavnim kriterijem pri upisu na fakultet. Stavljamo matematiku na pijedestal i zatim odvraćamo pogled, ili i pljujemo po njoj – kao što se događa s većinom onoga što stavljamo na pijedestal.

■ STRAH OD NEUSPJEHA UVIJEK KOČI UČENJE

Matematika je školski predmet koji na ispitima ne možemo smuljati. I zbog toga je tolikima tako zastrašujuća. Na svako pitanje postoji točan odgovor i pogrešni odgovori, nema djelomičnog bonusa.

Također, mnogi misle da matematička vještina odražava temeljnu inteligenciju. Biti loš u matematici znači pokazati se logički nesposobnim pa je strah od neuspjeha u matematici i veći negoli je u ostalim predmetima, a strah od neuspjeha uvijek koči učenje.

Pretpostavljam da je razlog zašto se matematika toliko računa na državnoj maturi i prijamnim ispitima na fakultetima taj što ljudi misle da je pokazatelj opće sposobnosti mišljenja i rasuđivanja.

Ali nisu u pravu.

■ SKIDANJE MATEMATIKE S PRIJESTOLJA

Prvi korak suočavanja s matematikom jest njezino skidanje s trona. Stvarni životni problemi koji zauzimaju prostor u ljudskim životima glase ovako: S kim ću stupiti u brak? Trebam li se oženiti/udati? Smiju li se istospolni parovi vjenčavati? Za koje se zanimanje trebam školovati i kako se za njega pripremiti? Ako izumim Gizmo X, hoće li biti zainteresiranih za moj proizvod? Trebaju li korporacije imati ista ustavna prava kao i privatne osobe? Koji je najbolji način „odštopavanja“ zahodske školjke?

Matematika igra malu, a možda i nikakvu, ulogu u odgovorima na takva pitanja, kao što  takva pitanja nemaju odrješite, bespogovorne da i ne odgovore koji bi se mogli svesti na kakvu formulu. Ljudska inteligencija i rasuđivanje počivaju na mudrosti, ne na matematici.

Mudrost je sposobnost da se vrijednosti, ono što nam se sviđa i ono što nam se ne sviđa, znanje o drugim ljudima i o tome što se njima sviđa, a što im se ne sviđa, kao i opća znanja o svijetu spoje na način koji vodi do djelotvornih rješenja problema s kojima se suočavamo, rješenja koja promiču našu sreću i sreću drugih ljudi te koja umanjuju našu bijedu, kao i bijedu drugih.

Matematika ima svoje svrhe, uistinu vrijedne svrhe u našem modernom svijetu, no daleko je od srži inteligencije. Ljudska su bića bila inteligentna mnogo prije izuma matematike. Neki od najpametnijih ljudi koje poznajem – pa i pojedini najbolji znanstvenici koje poznajem – nisu odveć uspješni u matematici.

■ MATEMATIKA NIJE OSOBITO TEŠKA

Drugi korak suočavanja s matematikom jest spoznaja da matematika nije osobito teška. Nema u njoj ničega nadnaravnog. Osim normalnog ljudskog mozga, nije vam potreban nikakav prirodan dar da biste se njome pozabavili. Niti su potrebne tisuće sati učenja na koje pokušavamo prisiliti školsku djecu. Zapravo, tê tisuće sati prisilnoga matematičkoga rada, koji se obavlja za ocjenu, a ne iz zabave ili koje praktične svrhe, ono je što matematiku čini toliko teškom i zastrašujućom.

Najbolji dokaz za moju tvrdnju da matematika nije teška dolazi iz iskustava osoba uključenih u izvanškolski pokret i pokret izvanškolskoga obrazovanja u Sudburyju. O tim sam pokretima pisao u svojim prethodno objavljenim tekstovima. Izvanškolci su obitelji koje svoju djecu školuju kod kuće i ne pružaju im nastavne planove i programe, niti ocjenjuju njihovo učenje na bilo kakav formalan način. Sudburyjske su škole oblikovane prema školi [u američkoj državi Massachusetts] Sudbury Valley School, gdje su djeca svih uzrasta cijeloga dana slobodna birati s kim će komunicirati i kako će slijediti ono što ih izaziva i zaokuplja.

Izvanškolci i sudburyjski školarci prkose našim kulturalnim uvjerenjima o tome što djeca moraju raditi da bi uspjela u našem društvu. Svi dostupni dokazi pokazuju da djeca u takvim okružjima odrastaju u sretne, produktivne, etične članove širega društva, koji uspješno upravljaju svojim životima te nastavljaju učiti i tijekom odrasle dobi (rezultate istraživanja o maturantima škole Sudbury Valley možete pronaći u članku objavljenu 13. kolovoza 2008.).

■ UČENJE MATEMATIKE RAZVRSTANO U ČETIRI KATEGORIJE

Prije nekoliko tjedana pozvao sam čitatelje ovoga bloga da mi pošalju svoja iskustva o samovođenom učenju matematike. Ukupno se ljubazno odazvao 61 čitatelj, a među svjedočanstvima koje sam primio bilo je i jako lijepo napisanih tekstova koji su pravi zaokruženi ogledi. Iznimno sam zahvalan na tome.

Većina je iskustava stigla od izvanškolskih roditelja koji opisuju učenje matematike zapaženo kod njihove djece. Da bih pristiglu građu organizirao i kvalitativno analizirao s namjerom da izdvojim zajedničke teme, trebalo mi je nekoliko dana i sada, nakon što sam – barem u preliminarnu obliku – dovršio taj posao, spreman sam vam izložiti do kojih sam tema došao.

Smatrao sam prikladnim pristigla svjedočanstva razvrstati u četiri kategorije zasnovane na glavnom pokretaču učenja matematike. Svaku sam kategoriju imenovao: zaigrana matematika (također bi se mogla nazvati i čistom matematikom), instrumentalna matematika (matematika koja se uči kao sredstvo rješavanja problema na koje nailazimo u svakidašnjici), didaktička matematika (matematika koja se uči prema nastavnom programu ili planu koji je postavio netko drugi, a ne osoba koja uči) te matematika za upis na fakultet (matematika koja se uči s precizno određenim ciljem uspješnoga ili dovoljno dobroga polaganja ispita na državnoj maturi, državnih ili prijamnih ispita).

S obzirom na to da su me pojedini čitatelji koji su se odazvali na moj poziv zamolili za anonimnost, u iznošenju svjedočanstva iz svake od ustanovljenih kategorija učenja matematike prenosim ime osobe koja je sa mnom podijelila svoje zapažanje [ne i prezime], a imena djece potpuno izostavljam. Jasno razdvajam svoje komentare i iskaze od riječî suradnika [čitatelja/roditelja koji su se odazvali] koje citiram nakon oznake ■ . Na taj vam način želim omogućiti bolje snalaženje u tekstu.

Prva kategorija učenja matematike: Zaigrana matematika

Odlučio sam prikupljena svjedočanstva otvoriti, na najradosniji način, zaigranom matematikom. Zaigrana je matematika ono što pojedini zovu „čistom matematikom“. Njome se bave pravi matematičari, a njome se bave i četverogodišnjaci. Zaigrana je matematika za brojeve ono što je pjesništvo za riječi, glazba za zvukove i likovno stvaralaštvo za vizualnu percepciju.

Kasnije ću pisati o matematici kojom se služe kao sredstvom u igri, a sada pišem o matematici koja jest igra – matematika koja nema nikakvu drugu svrhu osim čiste zabave i ljepote koja iz nje proizlazi.

Razigrana matematika uključuje otkrivanje ili stvaranje uzoraka (obrazaca) u brojevima, kao što pjesništvo uključuje otkrivanje ili stvaranje uzoraka u riječima, glazba uključuje otkrivanje ili stvaranje uzoraka u zvukovima, a likovno stvaralaštvo uključuje otkrivanje ili stvaranje uzoraka u vizualnu prostoru.

Četverogodišnjaci su čisti matematičari

Četverogodišnjaci su sposobni cjelokupan svijet koji ih okružuje privesti u carstvo igre. Igraju se riječima, stoga su pjesnici. Igraju se zvukovima, stoga su glazbenici. Igraju se bojicama, bojama i glinom, stoga su slikari i likovni umjetnici. Igraju se brojevima, stoga su čisti matematičari.

Zapazio sam da učenici u Sudbury Valleyju, koji su slobodni od bilo kakva nametnuta nastavnoga programa, ne prestaju s takvom igrom ni kada uđu u zreliju dječju dob. Nastavljaju igru riječima, zvukovima, bojama i brojevima, i često u takvoj igri postaju stvarno dobri. Izgleda da isto vrijedi i za djecu koja odrastaju u neškolskim obiteljima.

Najranija matematička igra kojom su zaokupljena malena djeca uobičajeno uključuje otkriće da brojevi dolaze u čvrstim nizovima, da se i nizovi ponavljaju na ustaljen način (na dekadskom sustavu) te da, kada jednom shvatiš obrazac, nema kraja tomu koliko daleko možeš brojiti. Slijede tri citata iz prikupljenih izvanškolskih svjedočanstava koja lijepo oslikavaju o čemu je riječ:

■ EVELYN je pisala o svojem sinu starom 4 ¾ godine (koji „inzistira na tome da i ¾ bude zabilježeno uz broj njegovih godina“): „Kada smo otkrili crtanje na temelju povezivanja točkica, postajalo mu je jasno kako su brojevi povezani u red. Počeo je glasno brojiti i to je činio stalno, i dok bi hodao, i dok bi ležao u postelji… Prije koji dan igrao se s jednim svojim neškolskim prijateljem, i prijateljeva je majka bila iznenađena kako se dobro snalazi u brojevima koji u izgovoru završavaju na –naest  [otprilike odgovara brojevima koji u engleskom završavaju na -teen, nap.]. … Brojio je do trideset na španjolskom, a zatim joj rekao da na engleskom može brojiti do milijun. I tako, od tada, broji i jutrom, i tijekom dana, i navečer. To za okolinu katkad zna biti, kao što možete zamisliti, vrlo zahtjevno, no tada sami sebe podsjetimo da je to zapravo dobro! … Upravo je na broju 5068… A kada drugima kažem kako broji do milijun, on kaže: Ne, do deset milijuna! – Nadam se da ću preživjeti!“

■ LUCY, iz Ujedinjenoga Kraljevstva, pisala je o sinu koji je upravo navršio pet godina: „Jednom je, dok se odijevao, iz čiste zabave brojio do stotinu. Tada sam prvi put uočila da to umije! Magnetiće u obliku brojeva, koje držimo na vratima hladnjaka, voli poredati jedan za drugim i zatim me pita koji je to broj, a osobito je ustreptao kada se radi o milijunskom broju. Na temelju igre s magnetima na hladnjaku može prepoznati četveroznamenkaste brojeve. Naučio je parne i neparne brojeve uočavajući oznake na kućama za vrijeme šetnjâ po našoj četvrti. Sada ih prepoznaje i u drugim kontekstima. Naučio je i brojiti po dva predviđajući idući kućni broj. Nikad se nismo bavili ikakvom formalnom matematikom ili računanjem, niti bismo išta zapisivali.“

■ KATHY je napisala: „Naš najstariji sin, koji ima šest godina, oduvijek je zadivljen  brojevima. Prije četvrte godine znao je brojiti do 199. Obožavao je brojiti, a tražio je da i ja brojim, te bi pritom izvodio ritmičke kretnje. Znao bi skakutati dok bih ja brojila, ili bi odskakivao na kauču. Matematikom se počeo baviti kada je poželio saznati koliko bi nečega bilo kada bi to udvostručio. Tako smo prošli fazu udvostručavanja!“

Nastavlja se.

■ NAPOMENA ■ izabrala i pripremila: Snježana Mostarkić ■ tekst je u neophodnoj mjeri  uređen ili prilagođen, a do izvornika vodi poveznica na kraju ove napomene ■ Peter Gray, doktor znanosti i profesor na Sveučilištu u Massachusettsu, autor knjige Free to Learn i udžbenika iz psihologije ■ SAD: Psychology Today – časopis koji objavljuje znanstvene i stručne članke iz psihologije i srodnih područja; utemeljen 1967. s ciljem približiti psihologiju širem čitateljstvu, a 1981. dosegnuo je nakladu od milijun primjeraka ■