„U svojoj neprekidnoj matematičkoj igri malena djeca često otkrivaju temeljne koncepte zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja, i dalje. Jednom kada spoznaju o čemu je riječ, stvarne matematičke operacije provode s lakoćom.“

Peter Gray, istraživač i sveučilišni profesor, osobito je usmjeren na rani razvoj i učenje. Na Školskome portalu do sada smo objavili nekoliko njegovih tekstova, a pred vama je drugi dio članka o djelotvornom, često i radosnom, učenju matematike kao i o tome u kojim se uvjetima i okolnostima ono ostvaruje.

S obzirom na opseg članka, donosimo ga u dijelovima. Izvorno je objavljen u časopisu Psychology Today u kojem je autor bio dugogodišnji suradnik.

U dijelu koji smo prethodno objavili Peter GRAY razlaže zašto matematiku valja maknuti s pijedestala te zašto uspješnost u matematici za ljudsku inteligenciju može značiti malo ili ništa. Glavnina građe za članak iskazi su roditelja djece koja se školuju u tzv. sudburyjskim školama ili izvan škola, ponajviše u svojim domovima i obiteljima. Prikupljena svjedočanstva autor je  analizirao i organizirao tako da je opise učenja matematike razvrstao u četiri kategorije učenja.

Članak nastavljamo svjedočanstvima roditelja te autorovim komentarima i zaključcima o prvoj kategoriji učenja matematike koju naziva zaigrana ili razigrana matematika, a javlja se i pod imenom čista matematika. Zatim slijedi druga kategorija učenja matematike koju je nazvao instrumentalnom matematikom. Mogli bismo ju nazvati i matematika kao oruđe ili matematika kao sredstvo.

Kako bi jasno razlučio vlastite komentare od prikupljenih iskaza i zapažanja, autor napominje:

„S obzirom na to da su me pojedini čitatelji koji su se odazvali na moj poziv zamolili za anonimnost, u iznošenju svjedočanstva iz svake od ustanovljenih kategorija učenja matematike prenosim ime osobe koja je sa mnom podijelila svoje zapažanje [ne i prezime, nap. prir.], a imena djece potpuno izostavljam. Jasno razdvajam svoje komentare i iskaze od riječi suradnika koje citiram nakon oznake ■ . Na taj vam način želim omogućiti bolje snalaženje u tekstu.“

Članak Kids Learn Math Easily When They Controll Their Own Learning objavljen je na mrežnim stranicama časopisa Psychology Today.

U svojoj neprekidnoj matematičkoj igri malena djeca često otkrivaju temeljne koncepte zbrajanja, oduzimanja, množenja, dijeljenja, i dalje. Jednom kada spoznaju o čemu je riječ, stvarne matematičke operacije provode s lakoćom.

Iz brojnih iskustava koja to potvrđuju izdvajam nekoliko navoda:

■ JANET je napisala o svojoj malenoj kćeri:

„Razvila je vještinu brojenja, kao i većina malene djece, služeći se prstima, hranom i igračkama, igrajući se figuricama i prostorom na igraćim pločama ili u poljima računalnih igara. … To ju je prirodno vodilo do zbrajanja i oduzimanja prstima i predmetima, a zatim i ponavljanja u glavi. … Često bi, naizgled iz vedra neba, postavila pitanje poput ovoga: Je li četiri više deset jednako četrnaest? – Ja bih potvrdila, a ona bi nastavila: Onda je pet više deset petnaest, a sedam više deset jednako je sedamnaest? – Brzo je otkrivala obrasce u zbrajanju i oduzimanju te bi zakonitosti do kojih je sama dolazila i primjenjivala, a zatim i povećavala upotrijebljene vrijednosti. To je iskonsko zanimanje za brojevne obrasce do izražaja najviše došlo u sedmoj godini. … Osobno sam bila prilično užasnuta   matematikom, i u ranim godinama školovanja, i kao adolescentica. No moram reći da mi je [promatranje kćeri i razgovor s njom] pružio nov osjećaj zahvalnosti na  matematici te oštrinu uma po pitanju računanja, što nisam bila osjetila ikad prije. Također, prepoznajem pravu ljepotu u uspostavljanju i razvijanju njezinih odnosa s brojevima.“

■ Neškolska majka LORI napisala je:

„Ovo se upravo dogodilo, prije dvije minute. Moj mlađi sin (5 godina) igrao se lego-kockama dok sam se ja nalazila u drugoj sobi. Odjednom me zazvao i, skačući na kauču, s osmijehom preko cijeloga lica upitao:

– Mama! Koliko je 4 više 4 više 4 više 4?

– 16 – odgovorila sam.

On se nasmijao i rekao:

– Koliko je 8 više 8?

– 16.

Još jače se nasmijao i nastavio:

– Koliko je 2 više 2 više 2 više 2… – ponovio je broj 2 točno toliko puta koliko je bilo potrebno da dođe do 16.

Bilo je jasno da je odgovore znao i prije negoli ih je zatražio od mene. Tâ pitanja nije postavljao zato što ih je zapamtio dok ga je netko tomu poučavao, nego je – igrajući se lego-kockama i brojevima koje je prevrtao po glavi i prstima – samostalno došao do tih spoznaja. Bio je uzbuđen dok se na svoju ruku, samostalno, poigravao brojevima. To je za njega bila igra.“

■  A. L. piše o svom mlađem sinu:

„Jednom je u dobi od tri ili četiri godine ušao u dnevnu sobu gdje se nalazi velik prozor te je uočio da su na njemu četiri reda s po 7 stakala. …

– Znači – rekao je – ako do sedam brojim četiri puta, tada je to 28.

Ne sjećam se da smo ikad u tome razdoblju razgovarali o množenju, već je on samostalno shvatio esenciju množenja i kako, na temelju  promatranja rasporeda kvadratnih polja, sâm doći do odgovora. Na svoju ruku počeo je istraživati [postavljajući] u stupce gumbe umjesto staklenih pločica. I dalje je, da dođe do odgovora, morao prebrojiti jer nije to radio zato što je brojeve želio zapamtiti, ali je razumio kako zakonitost funkcionira i što znači.“

■ BARBARA  je o svojoj malenoj kćeri koja je također izvanškolka napisala sljedeće:

„Upravo mi je ispričala koje je igre igrala sa svojom prijateljicom, a zatim smo nekoliko minuta provele u tišini. Odjednom je uzviknula, prilično uzbuđena: O, shvatila sam! – Upitala sam ju na što misli, a ona mi je odgovorila: Razumijem dijeljenje. … Nastavila mi je objašnjavati da, kada imaš jednu cjelinu i želiš ju raščlaniti na određen broj jednakih dijelova, to je dijeljenje. Zatim mi je rekla da ju ispitam i uistinu je znala kako provesti jednostavno dijeljenje. Do toga trenutka nikad nismo igrale nijednu igru povezanu s dijeljenjem. Nikad joj nisam dala nijedan zadatak da ga riješi, niti sam joj ikad objašnjavala što to uopće jest. … Ovo moje svjedočanstvo ne objašnjava kako je spoznala tê matematičke koncepte, ali svjesna sam da joj naš životni stil daje dovoljno vremena za integraciju, promišljanje i propitivanje pojava koje vidi i čuje u svijetu koji ju okružuje. Na svoj, osobni način uspijeva povezivati, domisliti i provjeravati svoje teorije. I sigurna sam da, kada joj nešto sînē, ona će se toga sjećati te primjenjivati i ubuduće jer je riječ o istinski njezinu iskustvu.“

■ AURORA piše o svom sinu: „Jedne večeri, u dobi od 7 godina, donio je kući paketić bombona Skittles. Kao i mnoga djeca, voli ih istresti iz vrećice, razvrstati po bojama te se njima igrati. Danas mu je preostalo devet bombona te ih je složio u tri stupca po tri. Rekao je: Znaš, broj devet je kvadrat. – Rekla sam mu da se to tako i zove, kvadratni broj ili kvadrat, te da na isti način  može napraviti kvadrat ako složi četiri stupca po četiri. Nastavio je slagati sve veće i veće kvadrate. … Kada mu je postalo nezgodno kvadrate slagati bombonima, jer su kvadrati bili preveliki, a bombona premalo, ili mu je moguće dosadilo, uzeo je kalkulator da bi pronašao još kvadratnih brojeva, i zatim ih je zapisao.“

Pojedini čitatelji sada zasigurno pomišljaju: „U redu, ali vodeći nastavu, dobar se učitelj može poslužiti takvim oblicima demonstracije i pomoći djeci učiti brže i mnogo djelotvornije od onoga što se događa tijekom njihovih samostalno vođenih otkrivanja.“

No, u takvu zaključivanju postoji problem: Svako je dijete različito i nema toga učitelja, ma kako sjajan bio, koji može doprijeti do uma svakoga djeteta i iznaći iskru koja će zapaliti njegov um u tom točno određenu trenutku. Zbog toga je samoučenje – učenje u kojemu dijete samostalno upravlja svojim učenjem – gotovo uvijek, na duge staze, učinkovitije i trajnije od svega što se može poučiti, pa radilo se i o najsjajnijem od svih učitelja.

■ DRUGA KATEGORIJA UČENJA MATEMATIKE: INSTRUMENTALNA MATEMATIKA

Matematika nije samo igra. Ona je i korisno oruđe u našim svakodnevnim životima i u tim okvirima svakodnevno ju učimo. Većina svjedočanstava o učenju matematike koja su stigla do mene uključuje barem jedan primjer učenja matematike kao sredstva u svakidašnjem životu.

Slijedi nekoliko citata iz iskustava koja sam izabrao podijeliti s vama:

■ AMY, majka sedmero djece koja se školuju kod kuće, napisala je:

„Znaju kako dijeliti i množiti, izračunati postotke, zbrajati i oduzimati, a naučili su dok su rukovali novcem i kuhali. Sigurna sam da pomaže i to što imaju ograničene količine grickalica koje moraju podijeliti, i to ne samo njih sedmero među sobom, nego i s drugom djecom koja su često ovdje. Hrana i novac djecu nauče MNOGO matematike, i visoko ih motiviraju.“

■  ANNE je napisala:

„Svih petero djece naučilo je čitati recepte, mjere, kako dijeliti, kako udvostručiti ili utrostručiti sastojke. Čitaju zemljopisne karte i određuju udaljenosti. Sva djeca igraju različite igre kartama ili na ploči pri kojima se upotrebljavaju brojevi i/ili vještine rasuđivanja – Uno, Skip-bo, Pinochle i druge. S obzirom na to da su uključeni u sportske aktivnosti naše lokalne zajednice, naučili su kako voditi evidencije o rezultatima i izračunati prosjeke. Jedan je sin naučio kako napraviti proračunsku tablicu u kojoj bilježi  prosjek udaraca svoje ekipe. Sva djeca imaju knjigovodstvene bilježnice u koje zapisuju podatke o svojim štednim računima.“

■  VINCENTE, član osoblja škole u Sudburyju, poslao mi je ovu simpatičnu priču:

„Uvijek nam se nekako nakupi mnogo sitnog novca koji moramo zapakirati kako bismo ga mogli deponirati. Jedan od najmlađih učenika odlučio je to napraviti [pomoći mi]. Napravili smo hrpice od 50 istovjetnih novčića i zatim ih zapakirali. To je samo početak, slijedi nešto još bolje. … Tjedan kasnije pozvali su me da sudjelujem u jednoj njihovoj igri koja uključuje brojenje. Nakon nekog vremena začujem nešto što zaslužuje mjesto u Peterovu blogu: Četiri puta pet je dvadeset, pet puta četiri je dvadeset. Komutativno svojstvo brojeva – usvojeno!“

■  A ovo kaže JENNIFER:

„Prije tri godine mojemu sinu [u dobi od 8 godina] dijagnosticiran je dijabetes tipa 1. Tako je svaki obrok postao matematika. S naljepnica o nutritivnim vrijednostima proizvoda računamo ukupni udio ugljikohidrata u hrani, odnos ugljikohidrata i inzulina u određeno doba dana, korektivne faktore, postotke i tako dalje. Da bi preživio,  MORA znati matematiku. I dalje ne podnosi učenje napamet tablice množenja. … Ako ga upitam: Koliko je 3 x 6?, samo će me prazno gledati. No, jednom je za ručkom htio kolačić i ja sam rekla: U redu, ako svaki kolačić sadrži 6 grama ugljikohidrata, a ti pojedeš 3 kolačića, koliko je to ukupno ugljikohidrata? – Bez ijednog treptaja, odgovorio je: 18.“

Ali nije riječ samo o hrani i novcu. Evo i drugih primjera:

■ BEATRICE je napisala: „Moja mi je kći rekla da se, svirajući glasovir, bavi matematikom. Brojila je razlomke: polovinke, četvrtinke, osminke, šesnaestinke, sve u notnom zapisu kao i u primjerima i ritmu.“

Mnoga svjedočanstva o instrumentalnoj matematici vezana su uz igre. Većina igara koje djeca danas igraju uključuje brojeve, ako ni u čemu drugom, tada u dijelu kada moraju zabilježiti rezultat. No, mnoge igre uključuju uistinu složenu matematiku kojoj igrači prilaze  sa strašću želeći zadržati mogućnost ostanka u igri.

Evo nekoliko reprezentativnih navoda:

■  H piše: „Imam troje djece koja pohađaju Demokratsku slobodnu školu u kojoj nema propisanoga nastavnoga programa. Moja su djeca mnogo vremena provodila igrajući računalne igre na mreži. Prave igre, ne one glupe obrazovne. Moj jedanaestogodišnji sin igra MapleStory i da bi ostao u igri, morao je proniknuti u složene matematičke strukture:

– Ako kaciga stoji određen iznos i ja ju želim kupiti, koliko sati moram provesti u igri i koliko ću zaraditi po satu da bih ju mogao kupiti? Ako ovu stvar želim prodati na tržnici, a provizija iznosi određen postotak, koliko će mi ostati od prodaje nakon što platim proviziju? Ako na temelju iskustva dobijem određen postotak, a svakim satom stječem iskustvo, koliko mi je sati potrebno da bih napredovao na sljedeću razinu?

Usto, u igri postoje tri različite valute pa na dnevnoj razini moraš znati obračunavati iz jedne valute u drugu i obratno.

Ako tê probleme izdvojite iz igre i postavite ih kao matematičke zadatke pred učenike 5. razreda u klasičnoj školi te im kažete da vam pokažu kako su ih riješili, vidjet ćete što ćete dobiti.“

■ REBECCA je napisala: „Prije negoli je moj najstariji sin dosegnuo školsku dob, naučio je osnovne matematičke operacije kako bi mogao spasiti svijet od neprijateljskih osvajača.“

■ GILLIAN piše: „Moja djeca u dobi od deset i pet godina školuju se kod kuće te, ako žive poticajan život, ne postoji način da izbjegnu izloženost matematici. Konkretnije, u računalnim igrama koje zaokupljaju moga sina matematičke su operacije uključene na potpuno prirodan način. Ne volim igre koje su napravljene s namjerom da budu obrazovnima, a ne vole ih ni moja djeca. Svaki put kada bih ih pokušala usmjeriti na obrazovne igre, smjesta bi izgubili zanimanje vjerojatno zato što su takve igre napravljene s lažno ljubaznim, a zapravo patronizirajućim tonom, a zadatci po izazovnosti znatno zaostaju za dobro napravljenim računalnim igrama. No, dajte im inteligentne računalne igre i neizbježno će naučiti mnogo toga što škole propisuju u svojim programima, ali na prirodniji način i bez otpora.“

■ ERICA je napisala: „Moji sinovi u dobi od 11 i 7 godina izmislili su igru koja se zove Borba crteža. To je strategijska igra koja zahtijeva zbrajanje i oduzimanje. Najprije nacrtaju svatko svog junaka koji će sudjelovati u borbi. Na početku igre junak ima 50 bodova koje može potrošiti na borilačke vještine, oružje, zdravlje, oklop. Odabir na što će potrošiti svoje bodove ima veliku ulogu jer pojedini su odabiri vrjedniji od drugih. Nakon toga svaki igrač (junak) ima prigodu za napad, dodaje bodove koje je zaradio nanošenjem gubitaka svom protivniku, a oduzima bodove koje je u okršaju izgubio. Tko osvoji više bodova, pobijedio je.“

Osim u svijetu hrane, igara i upravljanja novcem, matematika ima ključnu ulogu u pojedinim zanimanjima kao što su fizika, inženjerstvo i računovodstvo.Ljudi koji se odlučuju za zanimanja u kojima je matematika neizostavna i bitna, s velikim žarom uče matematiku i ona postaje dijelom njihova osobnoga, dnevnoga treninga bez obzira na to koliko zaostaju u matematičkoj izobrazbi koja je prethodila trenutku u kojem su se odlučili za određeno, na matematici utemeljeno, zanimanje.

Slijede svjedočanstva o bavljenju matematikom u svrhu izobrazbe za pojedina zanimanja:

■ TERRY, majka djece koja nisu pohađala školu: „Moj se najstariji sin uvijek opirao matematici. Odbijao je rješavati matematičke zadatke pa sam od njega tražila sve manje i manje. … Kada je bio u dobi 5. razreda, potpuno smo prestali s matematikom. Uvijek je imao mogućnost pristupa računalu te je uživao u pisanju igara i programiranju pri čemu je bio samouk. U dobi od 17 dobio je ponudu tvrtke koja se bavi prodajom obveznica; ponudila mu je stažiranje programiranja. Bio je toliko dobar da su ga zaposlili te i danas, u dobi od 20 godina, radi taj posao. Uistinu ima žicu za programiranje te je obuzet svijetom obveznica i poreza. Često telefonski razgovara s visoko pozicioniranim bankovnim poslovođama koji nisu svjesni koliko osoba s druge strane linije ima godina. I dalje ne zna reći koliko je 6 puta 7 a da u glavi ne računa pješke. Pristupio je ispitima kako bi upisao javni koledž i loše je prošao iz matematike te je trebao pohađati satove poduke. To ga je ozlovoljilo jer se takva poduka plaća, a ne dobiva se potvrda o pohađanju. Stoga se uhvatio učenja i nakon dva dana [moje naglašavanje – P. G.] ponovio ispit iz matematike. Taj put je položio i popravni ispit, i osnovni tečaj matematike. Kada vidi smisao u nečemu što treba naučiti, tada će to i napraviti. U protivnom, zaboravite!“

■ DAN, doktorand na studiju antropologije, napisao je da na satovima matematike na koledžu koji su bili izvan konteksta, nije mnogo naučio te je njegovo znanje iz statistike bilo nedostatno za završetak doktorskoga studija. Dodao je: „Uz mnogo samostalnoga rada i sasvim malo mentorskoga vodstva, danas sam bolji statističar od većine profesora s kojima se susrećem.“

■ MOJ KOLEGA, visoko cijenjen biolog čiji rad uključuje razvijanje matematičkih modela, poslao mi je životopisnu crticu o tome kako je u srednjoj školi i na fakultetu postizao loše rezultate iz matematike te malo naučio. Napisao je: „Na fakultetu sam učio matematiku jednu godinu, pohađao sam prvostupnički infinitezimalni račun, i to me zamalo dotuklo. Na postdiplomskom sam studiju imao jake razloge da se pozabavim matematikom pa sam to i učinio. Nabavio sam Kalkulus za neznalice, naporno vježbao i, kada bih zapeo, gnjavio kolege koji su imali više znanja od mene. Nije bilo baš   zabavno, no svaki put kada bih nešto dokučio, imao sam pobjednički osjećaj koji me poticao na idući korak. Prvi sam rad objavio dok sam još bio na postdiplomskom studiju, a danas sam poznat znanstvenik.“

Nastavit će se.

■ NAPOMENA ■ izabrala i pripremila: Snježana Mostarkić ■ tekst je u neophodnoj mjeri  uređen ili prilagođen, a do izvornika vodi poveznica na koncu ove napomene■ Peter Gray, doktor znanosti i profesor na Sveučilištu u Massachusettsu, autor knjige Free to Learn i udžbenika iz psihologije ■ SAD: Psychology Today – časopis koji objavljuje znanstvene i stručne članke iz psihologije i srodnih područja; utemeljen 1967. s ciljem približavanja psihologije širem čitateljstvu, 1981. dosegnuo je nakladu od milijun primjeraka ■ izvornik: www.psychologytoday.com ■

POVEZANI ČLANCI:

♦ DJECA S LAKOĆOM UČE MATEMATIKU KADA SAMA NADZIRU SVOJE UČENJE (1) ♦ Zaigrana ili čista matematika